Materijali za pripremu

Predavanja, riješeni primjeri i zadaci za vježbu, raspoređeni po razinama i matematičkim područjima.

Odaberi razinu

Razina je okvirni orijentir. Odaberi materijale prema dosadašnjem iskustvu i temi koju želiš proučiti.

Razina	Kome je namijenjena
1. razina	7. i 8. razred OŠ · školsko i županijsko natjecanje
2. razina	7. i 8. razred OŠ · državno; SŠ · školsko, A varijanta
3. razina	HJMO; SŠ · županijsko, A varijanta
4. razina	JBMO; SŠ · državno, A varijanta
5. razina	HMO i MEMO
6. razina	IMO i RMM

Predavanja i zadaci

Pregled materijala

Natjecanja iz matematike se u Hrvatskoj održavaju od 1959. godine, a iste godine je održana i prva Međunarodna matematička olimpijada (IMO). Karakteristika je tih natjecanja da od učenika traže visoku razinu rješavanja problema i kreativnosti, te je za dobre rezultate potrebno uložiti izrazito velik broj sati samostalnog i vođenog rada, te savladati teme koje daleko nadmašuju gradivo redovne nastave.

Uz prirodni talent, natjecatelji za ostvarivanje uspjeha moraju uložiti puno truda, te im na tom putu uvelike mogu pomoći savjeti i materijali koji su primjereni njihovoj trenutnoj razini. Iz tog razloga na ovoj stranici donosimo materijale koji su nastali tijekom priprema ekipa i raznih drugih radionica poredane po složenosti i natjecateljskim područjima. Svaka radionica ima jednu dominantnu temu ili ideju za koju se prezentiraju riješeni primjeri i zadaci za vježbu, ponekad uz teorijski uvjet ili savjete koji pomažu u razumijevanju procesa pronalaženja rješenja zadanih problema. Prateći tradiciju međunarodnih matematičkih natjecanja, teme i materijali su organizirani u četiri osnovna matematička podučja: algebra, kombinatorika, geometrija i teorija brojeva.

Uz strukturu po područjima, materijali su organizirani u šest razina koje natjecatelji mogu koristiti kao okvirni orijentir za lakše pronalaženje zadataka koji će im biti pristupačni te istovremeno dovoljno izazovni da bi napredovali. Odabirom razine otvorit će se stranica s materijalima koje možete koristiti prema vlastitim interesima.

Za učenike i mentore koji koji tek ulaze u svijet natjecateljske matematike savjetujemo da prouče pregled tema i literature u kojem se nalaze primjeri zadataka za niže razine natjecanja i dodatna literatura koja može poslužiti na svim razinama.

Linkovi na druge korisne izvore materijala nalaze se na stranici Priprema za natjecanja.

1. razina

Prva razina: okvirno za 7. i 8. razred OŠ, školska i županijska razina

2. razina

Druga razina: okvirno za 7. i 8. razred OŠ, državna razina / svi razredi SŠ školska razina (A varijanta)

ALGEBRA

Osnovni algebarski izrazi i faktorizacije

Zbrojevi i nejednakosti – Matija Bašić (Zimska 2023/24)

Daria Popović: Sustavi jednadžbi (Matka br. 45)

KOMBINATORIKA

Logički zadaci – Mea Bombardelli

Igre – Matej Vojvodić (Zimska 2023/24)

Optimizacija i konstrukcije – Ilko Brnetić

Tvrtko Tadić: Malo kombinatorne geometrije (Matka br. 37)

GEOMETRIJA

Tetivni četverokut – Borna Vukorepa

Sanja Varošanec: Tetivni četverokuti (Matka br. 23)

Geometrijski trikovi bez imena – Matija Bašić

Metoda površina – Mea Bombardelli (Zimska 2023/24)

Dodatne konstrukcije – Matija Bašić

TEORIJA BROJEVA

Djeljivost: ostaci

Djeljivost – Matija Bašić

Diofantske jednadžbe – Maja Marić

Marija Golac: Nelinearne diofantske jednadžbe (Matka br. 8)

Igre s brojevima – Eva Špalj (Zimska 2023/24)

Djeljivost – Vanja Wagner

Djeljivost – Aneta Copić

Šefket Arslanagić: O djeljivosti cijelih brojeva (Matka br. 84)

MIX

Zadaci za samostalan rad – OŠ [izvori zadataka]

3. razina

Treća razina: okvirno za HJMO / svi razredi SŠ županijska razina (A varijanta)

ALGEBRA

Kvadratna funkcija

Uvod u matematičku indukciju

Uvod u nejednakosti – Ivana Antoliš

Nejednakosti – Nevenka Antončić

Kvadratna jednadžba – Petar Bakić

KOMBINATORIKA

Logičko-kombinatorni zadaci – Vlatko Crnković

Matematička indukcija – Matija Bašić

Matematička indukcija – Azra Tafro

Vjerojatnost – Ivana Antoliš

Bojanja i invarijante – Ilko Brnetić

Invarijante i monovarijante – Ilko Brnetić

Kombinatorne igre – Sanja Antoliš

GEOMETRIJA

Metoda površina – Vlatko Crnković

Izometrije i homotetija – Mea Bombardelli

Potencija točke – Eva Špalj

Krug i kružnica – Aneta Copić

TEORIJA BROJEVA

Djeljivost: modularna aritmetika

Prosti brojevi i kanonski zapis prirodnog broja

Djelitelji i višekratnici – Miljen Mikić

Djeljivost (mod) – Ilko Brnetić (Zimska 2023/24)

Diofantske jednadžbe – Miljen Mikić

4. razina

Četvrta razina: okvirno za JBMO / svi razredi SŠ državna razina (A varijanta)

ALGEBRA

Nizovi

Funkcijske jednadžbe

Polinomi

Trigonometrijske supstitucije

Funkcijske jednadžbe – Luka Milačić (Zimska 2023/24)

Funkcijske jednadžbe – Marin Petković

Nejednakoti – Mislav Brnetić

Polinomi – Matija Bašić

Polinomi – Petar Bakić

KOMBINATORIKA

Matematička indukcija – Grgur Valentić

Teorija grafova – Kristina Ana Škreb

Optimizacija – Azra Tafro (Zimska 2023/24)

Prebrojavanja – Mislav Brnetić (Zimska 2023/24)

Kombinatorna geometrija – Matija Bašić

GEOMETRIJA

Tetivni četverokut – Matija Bašić

Primjena trigonometrije – Stipe Vidak

Spiralna sličnost – Luka Milačić (Zimska 2023/24)

Potencija točke – Matej Vojvodić (Zimska 2023/24)

TEORIJA BROJEVA

Diofantske jednadžbe

NZD, Euklidov algoritam i Osnovni teorem aritmetike

Mali Fermatov i Eulerov teorem, Kineski teorem o ostacima

Eulerova funkcija – Ilko Brnetić

NZD i Euklidov algoritam – Adian Anibal Santos Sepcic (Zimska 2023/24)

Diofantske jednadžbe – Ilko Brnetić

Mix iz teorije brojeva – Petar Bakić

MIX

Princip ekstrema – Emanuel Tukač (Zimska 2023/24)

Povezivanje područja – Matija Bašić (Zimska 2023/24)

Matematička indukcija – Ilko Brnetić (Zimska 2023/24)

5. razina

Peta razina: okvirno za HMO / MEMO

ALGEBRA

Nejednakosti – Lovre Pazinović (Zimska 2023/24)

Nejednakosti – Aleksandar Bulj

Nejednakosti – Kristina Ana Škreb

Geometrijske nejednakosti – Mario Krnić

Algebarske manipulacije i nejednakosti – Aleksandar Bulj

Sve o polinomima – Srđan Maksimović

Beskonačno veliko i beskonačno malo (analiza za srednjoškolce) – Matija Bašić

KOMBINATORIKA

Prebrojavanje – Ilko Brnetić

Dokazi u kombinatorici – Azra Tafro

Algoritmi i procesi – Matija Bašić

Kombinatorna geometrija – Matija Bašić

Optimizacija – Domagoj Ćevid

Elegantna kombinatorika – Matija Bašić

Teorija grafova – Domagoj Bradač

GEOMETRIJA

Pripisane kružnice – Stipe Vidak

Male tajne iz geometrije – Matija Bašić

Geometrijske transformacije – Matija Bašić

Harmoniteti – Matija Bucić i Domagoj Ćevid

Kompleksni brojevi u geometriji – Grgur Valentić

Inverzija – Stella Čolo (Zimska 2023/24)

TEORIJA BROJEVA

Polinomi, nizovi, funkcije u teoriji brojeva – Miljen Mikić

Sume kvadrata – Andrej Dujella

Diofantske koje svaki šonjo zna riješiti – Matija Bašić

Pregled teorije brojeva – Matko Ljulj

Euler, Fermat i Kineski teorem o ostacima – Grgur Valentić

Aritmetičke funkcije – Miljen Mikić

Pellova jednadžba i Eisensteinov kriterij – Dijana Kreso

Polinomi u TB – Patrick Pavić (Zimska 2023/24)

6. razina

Šesta razina: okvirno za IMO / RMM

ALGEBRA

Nestandardne nejednakosti – Aleksandar Bulj

Nestandardna algebra – Kristina Ana Škreb

Analitički zadaci – Ivan Novak

KOMBINATORIKA

Kombinatorne interpretacije – Grgur Valentić

Klasična kombinatorika za najjače – Matija Bašić

Kombinatorna teorija brojeva – Nikola Adžaga

Nevjerojatna kombinatorika

Linearna algebra u kombinatorici – Ivan Krijan

Funkcije izvodnice i Fourierova analiza u kombinatorici – Vjeko Kovač

Filter korijena iz jedinice – Adrian Beker (Zimska 2023/24)

GEOMETRIJA

Projektivna geometrija – Grgur Valentić

Lijepi zadaci s groznim slikama – Matija Bašić

Novi važni teoremi – Stipe Vidak

Polarno preslikavanje – Matija Bašić

TEORIJA BROJEVA

Kvadratni ostatci – Ivan Novak

Sve što treba znat o kvadratima – Matija Kazalicki

Lema o podizanju eksponenta (LTE) – Adrian Satja Kurdija

Grupe, krivulje i b(r)ojanja – Nikola Adžaga

Za planiranje rada s učenicima pogledaj vodiče i materijale za mentore. Za samostalno vježbanje otvori arhivu zadataka i rješenja.

Slika kao izazov

Rasporedi brojeve 3, 5, 11, 23 i 29 u krug tako da umnožak svakih dvaju susjednih brojeva, umanjen za 13, bude umnožak dvaju uzastopnih prirodnih brojeva. Svaki broj upotrijebi jednom.

Prilagođeni primjer prema IMO-u 2022., 3. zadatku · PDF

Mala pomoć

Koji brojevi mogu biti susjedi broja 29? A koji mogu biti susjedi broja 23?

Pogledaj objašnjenje

Provjerom umnožaka dobivamo da broj 29 može stajati samo uz 5 i 11, a broj 23 samo uz 3 i 11. Zato 11 mora biti između 29 i 23, a s vanjskih strana stoje 5 i 3. Preostaje spojiti 3 i 5.

Uvjet vrijedi za svih pet susjednih parova: 3 · 5 − 13 = 1 · 2, 5 · 29 − 13 = 11 · 12, 29 · 11 − 13 = 17 · 18, 11 · 23 − 13 = 15 · 16 i 23 · 3 − 13 = 7 · 8.

Time je raspored određen. Rotaciju kruga i čitanje u suprotnom smjeru smatramo istim rasporedom.